Find the mean and variance for the first n natural numbers

sujan prodhan October 16, 2022 0

Solution

Sujan Prodhan

The mean of first n natural numbers is calculated as follows.

Mean $= \frac{Sum of all observations}{Number of observations}$

$∴$ Mean $= \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2}$

Variance $(σ^{2}) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$

$= \frac{1}{n} i = 1 \sum n [x_{i} - (\frac{n + 1}{2})]^{2}$

$= \frac{1}{n} n = 1 \sum n x_{i}^{2} - \frac{1}{n} i = 1 \sum n 2 (\frac{n + 1}{n}) x + \frac{1}{n} i = 1 \sum n (\frac{n + 1}{2})^{2}$

$= \frac{1}{n} \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - (\frac{n + 1}{n}) [\frac{n ( n + 1 )}{2}] + \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4 n} \times n$

$= \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4}$

$= \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4}$

$= (n + 1) [\frac{4 n + 2 - 3 n - 3}{1 2}]$

$= \frac{( n + 1 ) ( n - 1 )}{1 2}$

$= \frac{n ^{2} - 1}{1 2}$
Sujan Prodhan Rajshahi University

Post a Comment

হে মুমিন গন ! তোমরা ধৈর্য ও নামাযের মাধ্যমে সাহায্য প্রার্থনা কর । নিশ্চিতই আল্লাহ্‌ ধৈর্যশীলদের সাথেই রয়েছেন । যারা আল্লাহ্‌র কিতাব পাঠ করে, নামায কায়েম করে, এবং আমি যা দিয়েছি তা থেকে গোপনে ও প্রকাশ্যে ব্যয় করে, তারা এমন ব্যবসা আশা কর, যাতে কখনও লোকসান হবে না ধৈর্যের সাথে সাহায্য প্রার্থনা কর নামাযের মাধ্যমে । অবশ্য তা যথেষ্ট কঠিন । কিন্তু সে সমস্ত বিনয়ী লোকদের পক্ষেই তা সম্ভব । ।

Find the mean and variance for the first n natural numbers

Post a Comment

Contact Form